​

​

"De kwetsbaarheid van schoonheid in wiskunde en in kunst"

​

​

Sarah Jones Nelson en Enrico Bombieri

​

​

​

Een samenwerking onder auspiciën van de School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey

​

​

Gepubliceerd in Kunst in het leven van wiskundigen

Anna Kepes Szemerédi, redacteur, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2015

Bestaat schoonheid in de wiskunde? De vraag betreft wiskundige objecten en hun relaties , het echte onderwerp van verifieerbare bewijzen. Wiskundigen zijn het er in het algemeen over eens dat schoonheid bestaat in de structurele schoonheid van stellingen en bewijzen, grotendeels alleen zichtbaar voor wiskundigen zelf, en in wiskundige schoonheid die iedereen kan zien in kunst en natuur. Onweerlegbaar mooie patronen komen universeel voort uit de relatie van elementen en objecten in mozaïektegels, bijvoorbeeld in landschapsschilderijen, stromende rivieren en in de spiraalvormige symmetrieën van dennenappels en schelpen. Wiskundige patronen in fysieke formaties geven je een gevoel van schoonheid dat onveranderd blijft door de variatie van de elementen: universaliteit, symmetrie, eenvoud, elegantie en kracht.

De kritiek op schoonheid in de kunst is kwetsbaar omdat het afhangt van relatieve beoordelingsnormen die in de tijd variëren tussen culturen. Voor Leibniz verklaarde dit het verschil tussen waarheden van feiten en waarheden van redenering die een kritische intentie weerspiegelen. Tot de late Verlichting was een formeel onderscheid van Kant onbegrijpelijk tussen de perceptie van natuurlijke schoonheid als een mooi object, en van artistieke schoonheid als een prachtige weergave van een object. In de traditie van zijn tijd gebruikte Kant de klassieke Griekse theorie van verhoudingen in de natuur en in de kunst om zijn geloof in de feitelijke waarheid van schoonheid te verifiëren. Hume's analyse van feiten, waarden en smaak, gecombineerd met Spinoza's theorie van ethiek en emoties zoals afgunst en liefde, had het innerlijke leven van sterke emoties echter al tot een permanente norm voor kritisch oordeel gemaakt. Dit keerde het renaissance-idee om dat kunst de spiegel van de natuur is die optische waarheid en feitelijke schoonheid verenigt, voor het eerst getoond in Alberti's nieuwe wiskunde van perspectief. De klassieke Griekse eenwording van waarheid, schoonheid en morele goedheid - een platonische stijlfiguur voor gelijkgestemde realisten als Brunelleschi, Giotto, Leonardo en Michelangelo - is in tegenspraak met elk amoreel oordeel of kritiek op schoonheid in abstracte en laatmoderne kunst.

Leon Battista Alberti was een filosoof en afkorting of secretaris van de pauselijke curie. Hij formaliseerde eerst eenpuntsperspectief in De pictura (1435), en in de volkstaal Della pittura (1436). Alberti werkte in Florence samen met de architect Filippo Brunelleschi. In Rome werkte hij met Luca Pacioli, een wiskundige en medewerker van Leonardo da Vinci in Milaan aan De divina proportione (1509). Brunelleschi had zijn brevet in wiskunde behaald en had gestudeerd bij Paolo dal Pozzo Toscanelli, de Florentijnse wiskundige, astronoom, kosmograaf en adviseur van Columbus. Pacioli was waarschijnlijk een leerling van Piero della Francesca, een schilder, wiskundige en theoreticus van De prospectiva pingendi (1474). Deze verhandeling formaliseerde zijn prachtig symmetrische Brera Madonna (1472-1474) ongeveer op dezelfde manier als zijn pala d'altare van Sint-Antonius (c.1470). Het picturale perspectief, de tweedimensionale representatie van de driedimensionale ruimte, werd zo een filosofie en een regel van de kunst die volgens Leonardo de voorkeur had boven alle leersystemen vanwege de basis ervan in de zekerheden van natuurkunde en wiskunde - en van opdrachtgevers. met smaak voor trompe-l'oeil .

De opmerkelijke continuïteit van platonisch realisme in kunst en wiskunde strekt zich uit tot een wijdverbreid geloof dat getallen, geometrie en alle wiskunde worden onthuld vanuit een absoluut rijk van objecten of zuivere vormen, paradoxaal genoeg onafhankelijk van de zintuigen en van de fysieke realiteit. In de platonistische visie ontdekt een wiskundige reeds bestaande objecten zoals de gulden snede; terwijl de formalist bewijzen uitvindt en construeert zoals een architect of een bouwer van wiskundige objecten gemaakt van de materialen van een bepaalde cultuur. De meeste wiskundigen zijn platonisten die op zondag op een formalistische manier werken op weekdagen. Velen spelen op een veelheid van objectief verschillende en geldige wiskundige systemen - ooit universeel voor Plato - in een wereld van overvloedig platonisme.

De gulden snede φ is een eenvoudig object dat een fundamentele verborgen structuur van de renaissancekunst uitdrukt. In de Euclidische meetkunde is φ de verhouding van de zijde van de regelmatige ster-vijfhoek tot de zijde van de regelmatige vijfhoek. In de hedendaagse wiskunde is φ gelijk aan 1 plus de vierkantswortel van 5 gedeeld door 2:

​

​

​

​

​

Eigenschappen van de gulden snede houden nauw verband met het getal 5, een onderwerp van fascinatie sinds Plato beweerde dat getallen voortkomen uit reeds bestaande objecten die zijn onthuld en ontdekt uit het rijk van pure vormen. De historica Annemarie Schimmel documenteerde in Das Mysterium der Zahl , de Engelse editie The Mystery of Numbers (1983), de associatie in de oudheid van het getal 5 met het mystieke pentagram van kabbalistische kennis. Apocriefe varianten van Genesis 1:27 beschreven het Edense begin van het universum waarin het getal 5 voortkwam uit de vereniging van de nummers 2 en 3, die de eerste vormen van vrouw en man symboliseren, waarbij 1 God en de eenwording van de fysieke realiteit symboliseerde.

Structuren in vijven komen overal in de natuur en in de kunst naar voren. De verhouding van de gulden snede is bijvoorbeeld duidelijk zichtbaar in de vijfvoudige symmetrieën in bepaalde planten en bloemen. Leonardo's Man van Vitruvius (1490) suggereert dat het menselijk lichaam zelf een ster-pentagon is die de gulden snede uitdrukt als een metafoor van de natuur en een model van symmetrie en proportie in ontwerp. Piero's werken drukken vijfvoudige structuren uit in de lineaire geometrie van commensurazione , zijn standaard voor het beoordelen van contouren en proporties. Het pala d'altare van Sint-Antonius heeft een centrale onderverdeling in vijf verticale ruimtes met een verticale onderverdeling in vijf secties. De Brera Madonna presenteert drie heiligen en twee engelen aan de linkerkant en twee engelen en drie heiligen aan de rechterkant, waarmee de symmetrie wordt voltooid. Een gedeeltelijk gepantserde beschermheer aan de rechterkant, Federigo da Montefeltro, hertog van Urbino, geeft een sterk spanningselement dat de symmetrie doorbreekt. Op deze manier herstelt Piero een harmonieus evenwicht waar de hertog knielt, handen in gebed, je blik diagonaal op de Maagd en haar zoontje richtend. Een ander bekend schilderij van Piero, de Geboorte van Christus (ca. 1470), toont het fragiele Kind links omringd door vijf engelen die zingen en op de luit spelen, met twee herders, Sint-Jozef, en de ezel en os aan de rechterkant, achtergrond dit meesterwerk van asymmetrie; de Maagd in aanbidding en de mysterieuze duif van de Heilige Geest bovenaan vervolledigen dit tedere beeld van nederigheid. Mathematisch nog eleganter is zijn Madonna del Parto (ca. 1460), met de paradox van een zwangere Maagd met de contouren van een tent in de vorm van een vijfhoek. Piero wilde met zijn werken de elementen van het bijbelse verhaal weergeven in een symbolische taal die formalisme verenigde met wiskundige analyse. Een pragmatische meester in techniek, hij stopte nooit bij louter vooruitziendheid en liet niets aan het toeval over.

De gulden snede is niet alleen een eenvoudig oud object; φ speelt ook een grote rol bij de vorming van de moderne wiskunde. Als het irrationele getal tussen 1 en 2 dat het verst verwijderd is van rationale getallen, heeft de gulden snede de eigenschap het unieke getal tussen 1 en 2 te zijn waarvoor de grootste waarde van de noemer q nodig is om een gegeven benadering van het rationale getal p te bereiken. gedeeld door q. We noemen twee opvallend elegante formules voor de gulden snede. In de eerste is φ gelijk aan de vierkantswortel van 1 plus de vierkantswortel van 1 plus de vierkantswortel van 1 in een geneste constructie tot oneindig; in de tweede is φ gelijk aan 1 gedeeld door 1 plus 1 gedeeld door 1 plus 1 gedeeld door 1 in een geneste constructie tot oneindig. De tweede formule is de interessantste van de twee als uitgangspunt voor het bewijs van de extreme irrationaliteit van de gulden snede.

De Fibonacci-reeks, genoemd naar Leonardo van Pisa (Fibonacci genaamd), drukt de gulden snede met prachtige precisie uit. Fibonacci publiceerde het voor het eerst in Liber Abaci (1201). Hij had voor zijn vader in een douanekantoor in de buurt van Algiers gewerkt en studeerde onder islamitische wiskundigen langs de mediterrane handelsroutes om de meest bekende wiskundige in middeleeuws Europa te worden. De rij van Fibonacci is 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . tot oneindig, waarbij elk getal na de eerste twee de som is van de twee voorgaande getallen. Het geeft de beste rationele benaderingen van de gulden snede; de breuken  Fn+1/Fn  kom steeds dichter bij φ. De Fibonacci-reeks wordt ook uitgedrukt in termen van de gulden snede:

​

​

Euclidische meetkunde en de gulden snede vormen het vroegste fundament van schoonheid in de geschiedenis van de wiskunde. Stel je voor dat in 1899, meer dan twee millennia nadat Euclides Elementen schreef, de wiskundige Frank Morley de laatste echt nieuwe stelling in de euclidische meetkunde ontdekte. De stelling van Morley stelt dat de drie punten waar de trisectoren van de hoeken van een willekeurige driehoek samenkomen, de hoekpunten zijn van een gelijkzijdige driehoek. Mooi! Je kunt je afvragen waarom een resultaat zoals de stelling van Morley nooit is voorgekomen in de klassieke euclidische meetkunde: waarschijnlijk omdat de Grieken uit de klassieke oudheid niet in staat waren de driedeling van een hoek te verkrijgen met behulp van euclidische constructies. Tegenwoordig weten wiskundigen dat het niet mogelijk is een hoek in drieën te delen binnen het raamwerk van vlakke euclidische meetkunde. Zij beschouwen dit 'negatieve' resultaat als een mooie consequentie van Galois' theorie (1832) over de oplosbaarheid van algebraïsche vergelijkingen, verkregen door middel van diepgaande resultaten op permutatiegroepen. Dus wat ooit een smet was op de euclidische meetkunde - de onmogelijkheid om de stelling van Morley in zijn context te bewijzen - is nu een prachtige ontdekking die onze kennis van meetkunde, logica en de overeenkomstige formaties van symmetrie vergroot.

Je zou uit onze geschiedenis van de gulden snede kunnen afleiden dat het een fundamentele pijler van alle wiskunde is. Maar de Laplace-vergelijking  Uxx + Uyy + Uzz = 0  is veel belangrijker. Keer op keer komt het voor in analyse, in waarschijnlijkheid, wiskundige fysica, astrofysica, scheikunde, zelfs in financiële engineering - inderdaad in alle gevallen waarbij de evenwichtstoestand van een systeem betrokken is. Het drukt prachtig de krachtige relevantie van wiskunde uit voor diepe open vragen, bijvoorbeeld in de filosofie over oorzakelijk verband. Laplace's Mécanique céleste (1829) ontwikkelt Newtoniaanse mechanica en differentiaalrekening tot het punt dat determinisme een onontkoombare staat van de fysieke realiteit lijkt: de krachten kennen en de positie en snelheid kennen van elk deeltje in het universum op een bepaald moment, de toestand van het universum op een later tijdstip is uniek bepaald; dus bij Laplace zijn toeval, vrije actie of keuzevrijheid causale ficties over de ware natuurwetten. Maar zijn vergelijking is slechts een eenvoudig wiskundig model. Is het juist of?​ elegant om er zulke ingrijpende filosofische consequenties uit te trekken, of om te suggereren dat de natuurwetten nooit zijn herzien door nieuwe ontdekkingen?

Nu, met de komst van de kwantumtheorie weten we dat het systeem van Laplace niet alle mechanismen van het waarneembare heelal kan beschrijven. In de kwantummechanica wordt de toestand van het heelal gegeven door een golffunctie ψ die voldoet aan de Schrödinger-vergelijking, een nauwe verwant van de Laplace-vergelijking. Voor Schrödinger is ook de evolutie van ψ deterministisch: als je de golffunctie op een bepaald moment kent, wordt deze op een later tijdstip uniek bepaald. De golffunctie beschrijft echter alleen de kans op resultaten van een waarneming. Bijna een eeuw na de formulering van de kwantumtheorie is er nog steeds geen consensus over het geldigheidsgebied ervan, misschien omdat het in tegenspraak is met de klassieke mechanica en de sterke opvatting – aan de basis van wetenschap en samenleving – dat natuurlijke processen en menselijk handelen worden bepaald door het verleden en de eenvoudige mechanismen van oorzaak en gevolg. Maar hoe kunnen acties die zoiets verbazingwekkend complex en onbepaald als een prachtig nieuw bewijs of het uitbundige realisme van de Renaissance voortbrengen, tevoorschijn komen in een universum dat vooraf is bepaald door vaste wetten?

De opvatting dat wiskunde inherent is aan natuurwetten, menselijke emoties en kunst komt prachtig tot uiting in de meest gevierde gravure van Albrecht Dürer, Melencolia I (1514). Het centrale beeld van een gevleugelde vrouw die donker naar binnen staart - als een orakel dat de schimmige vormen van de kosmos aanschouwt - symboliseert melencholia imaginativa , een vroegmoderne stijlfiguur uit de klassieke Griekse geneeskunde en analyse van de vier humeuren of temperamenten. Ze personifieert het genie van kunst en diepe wiskundige realiteit: een bol vormt de voorgrond van het perfecte eindige universum; een veelvlak, de afgeknotte rhomboëder, vertegenwoordigt de beschrijvende geometrie van Archimedische vaste stoffen; astrolabia en kwadranten suggereren de maat van ruimte en tijd. Een subtiel magisch vierkant van 4 x 4 getallen aan het uiteinde van haar vleugel verwijst naar het Fibonacci-getal en is een teken van de verborgen wiskundige orde van de natuur die kwaad in goed verandert en angst overwint, zei de renaissancefilosoof Marsilio Ficino. De datum 1514, in het midden van de laatste rij van de magie  vierkant,  viert feest  de  voltooiing  van  dit  meesterwerk.  Dürer,  een  De Duitse kunstenaar en wiskundige van verhandelingen over perspectief en verhoudingen, deelde met zijn theoretiserende Italiaanse tijdgenoten een kunstfilosofie en een theologie van het innerlijke leven die een revolutie teweegbrachten in de Reformatie in Europa.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Dürers beeld van het innerlijke leven voorspelt de paradoxale geneugten van wiskundige waarheden die zelfs muziek informeren. Sta eens stil bij je ervaring van hoe een Bach-concert of een sonate van Mozart je perceptie van de werkelijkheid verdiept. De structuur van muziek is wiskundig, zoals Pythagoras voor het eerst liet zien. Zo is het ook met de duurzame objecten van de wiskunde, variërend van muziek tot kunst en verder tot culturele en natuurlijke selectie en verder tot kosmologie die de symmetrische vorming van materie aan het begin van het universum beschrijft.

Symmetrische formaties van materie drukken schoonheid uit in de wiskunde. Het concept van een groep drukt symmetrie uit in de wiskunde. Wat is een groep? Overweeg elk object, concreet of abstract. Een symmetrie van het object - wiskundig gezien een automorfisme - is een afbeelding van het object op zichzelf waarbij al zijn eigenschappen behouden blijven. Het product van twee symmetrieën, de ene gevolgd door de andere, is ook een symmetrie, en elke symmetrie heeft een inverse die deze ongedaan maakt. Symmetrieën van een vierkant kunnen worden verkregen door het 90 graden te draaien of door het in de verticale as te reflecteren. Wiskundigen beschouwen Lie-groepen (uitgesproken als lee ) als een prachtige continue basis voor een groot deel van de wiskunde, en ook voor de natuurkunde. Naast continue Lie-groepen zijn er niet-continue eindige en discrete groepen; sommige zijn verkrijgbaar uit Lie-groepen door reductie tot een eindige of discrete instelling.

Iedereen die het labyrint van interieurontwerp trotseert, kent de angstaanjagende symmetrieën van behang in de rastertypes van wiskundige tegels voor het parallellogram, de zeshoek, driehoek, rechthoek, vierkant en de ruit, op verschillende rotatie- en reflectie-assen. In tegenstelling tot roosterbetegeling, die periodiek is, zijn er ook aperiodische, zelf-gelijkende quasikristallijne betegeling, Penrose-betegeling genaamd, genoemd naar hun ontdekker, de wiskundige en natuurkundige Roger Penrose. Hoewel het aantal verschillende roostertypes eindig is - er zijn er precies 17 - is er een continuüm van verschillende Penrose-tegels. Maar door zelfgelijkenis komt elk stuk van een gegeven Penrose-betegeling oneindig vaak voor in elke andere Penrose-betegeling!  Penrose-tegels kwamen als een grote verrassing voor wiskundigen, omdat hun spectrale eigenschappen puntachtig zijn en lijken op de puntachtige röntgendiffractiepatronen van natuurlijke kristallen.

Nog verrassender was de Nobelprijswinnende ontdekking van Daniel Schechtman dat quasikristallen in de natuur bestaan als vijfvoudige symmetrieën van aperiodische legeringen van bepaalde metalen. De natuurkundige Paul Steinhardt, een van de ontdekkers van quasikristallen, heeft prachtig hun verband aangetoond met de verbluffende overeenkomst tussen Penrose-tegels en vroegmiddeleeuwse islamitische mozaïeken, of Girih-tegels. Stel je voor dat zes eeuwen voor Penrose islamitische kunstenaars en architecten vijfhoek- en tienhoekmotieven introduceerden, tegels van gedeeltelijke vijfhoekige symmetrieën die de fragiele schoonheid van tijdloze kunst uitdrukken. Deze abstracte subtiliteiten in de wiskunde zijn hulpmiddelen voor het beschrijven van de natuur en kunstwerken zoals Girih- en Penrose-tegels, eenvoudig gemaakt met twee eenvoudige ruitvormige tegels, een smalle en een brede, in precieze vormen die zijn gekoppeld aan de gulden snede, de vijfhoek en sterpentagons . Wiskundige beschrijvingsinstrumenten helpen ons de anders verborgen universele structuren in de natuur te zien, de gulden snede, de vijfhoek van de ster, die elk aanleiding geven tot formele precisienormen in sociale abstractie, van pure wiskunde tot abstracte kunst.

Eindige groepen van symmetrieën, zoals de symmetrieën van een vierkant of een kubus, tartten lange tijd de classificatie totdat wiskundigen met succes alle eindige eenvoudige groepen konden classificeren. De classificatiestelling is een bewijs dat vandaag de dag meer dan 3.000 pagina's telt en meer dan 40 jaar van de collectieve inspanningen van meer dan 100 wiskundigen vergde. Deze stelling brengt orde in de theorie van eindige groepen. Eenvoudige groepen zijn belangrijk omdat ze een soort fundament vormen waaruit elke eindige groep is opgebouwd. Een groep rotaties van een veelhoek met 15 zijden kan bijvoorbeeld worden verkregen door gecombineerde rotaties van 120 graden en rotaties van 72 graden, waarbij de laatste eenvoudige groepen genereert. Afwisselende groepen, beginnend met de icosaëdrische groep, en eindige groepen van het Lie-type, vormen eindig veel families van eenvoudige groepen, maar met oneindig veel leden in elke familie. Als de klassieke Lie-groepen zijn ze nauw verbonden met symmetrieën van onderliggende geometrieën. Er bestaan ook 26 uitzonderlijke groepen, heel anders dan de groepen van het Lie-type, bekend als sporadische groepen. Twee sporadische groepen zijn hier relevant: de Conway-symmetriegroep, genoemd naar John Conway, de symmetrieën (tot een reflectie) van een zeer opmerkelijk rooster in 24 dimensies, het Leech-rooster; en de Fischer-Griess-groep F1 , bleek te bestaan door RL Griess tijdens een bezoek aan het Institute for Advanced Study. Ook wel het Monster genoemd door wiskundigen, is de Fischer-Griess-groep de grootste, gigantische sporadische groep met

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

elementen. Het bevat in zichzelf 21 van de 26 sporadische groepen, en de Conway-groep is er een van! Door een totaal onverwachte ontwikkeling van de merkwaardige numerologie 196883 + 1 = 196884, waarbij 196883 een kritisch getal is dat nodig is om het Monster te beschrijven en 196884 een ander getal is – uit de 150 jaar oude studie van elliptische en automorfe functies – heeft het Monster nu getemd door zijn duidelijke verbinding met veel verschillende gebieden in de wiskunde en in de wiskundige natuurkunde. Is het niet prachtig dat de aanhoudende samenwerking van wiskundigen de Monster F1 zou temmen?

Er kan meer worden gezegd over schoonheid in de wiskunde, van het fragiele proces van robuuste peer review tot elke consensus over wat aantoonbaar waar en mooi is. Zelfs het eenvoudigste in de wiskunde, namelijk de getallenreeks 1, 2, 3, . . . waaruit alle wiskunde het leven nam, bevat in zichzelf een diep mysterie, de reeks 2, 3, 5, 7, . . . priemgetallen die de bouwstenen van vermenigvuldiging vormen. Wiskundigen hebben al prachtige relaties ontdekt tussen de eigenschappen van priemgetallen, waarvan sommige stevig gevestigd zijn. Maar de belangrijkste relaties zijn nog steeds speculatief en roepen open vragen op in analyse, meetkunde en zelfs natuurkunde. Hier verder wonen zou ons huidige bereik te buiten gaan, dus we eindigen onze lijst met prachtige voorbeelden met een beroemde constructie die wiskunde verbindt met logica en filosofie.

Wiskundigen zijn altijd op zoek naar een mooi bewijs, zijn nooit tevreden als ze weten dat iets waar is. Ze willen weten waarom het waar is. Neem het continuüm, een oude bron van twist onder Griekse filosofen zoals Zeno, zijn paradox die voortkomt uit oneindige deelbaarheid. George Cantor gaf een nauwkeurige wiskundige definitie van het continuüm dat onze naïeve visie weerspiegelt dat het de totaliteit van alle getallen is, geschreven in decimale notatie als een geheel getal gevolgd door een oneindige reeks decimale cijfers, die vanaf een bepaald punt niet allemaal gelijk zijn aan 9. (De definitie van Cantor komt griezelig dicht in de buurt van Eudoxus' opvatting van een getal.)

Cantor produceerde een beroemd diagonaal argument dat bekend staat als de stelling van Cantor van de ontelbaarheid van het continuüm. Dit krachtige eenvoudige bewijs laat zien dat het continuüm, namelijk alle reële getallen tussen 0 en 1, niet als eerste, tweede, derde enzovoort in een lijst kan worden vermeld. Daarom is het continuüm ontelbaar. Stel bij tegenvoorbeeld dat het aftelbaar is in een oneindige lijst:

​

0,643546675432534645600112 . . .

0,100053453647545546043860 . . .

0.000000000000100004534237 . . .

0,999999999961045674732017 . . .

0.222955600333054564501179 . . .

0.141592653589793238462643 . . .

0.777777777777777777777777 . . .

0.421047542507075505555001 . . .

0.777777771777777777777777 . . .

0.777777777177777777777777 . . .

0,010010001000010000010000 . . .

0.0999999999999900000000 . . .

De diagonale markering is 0,600952741109 . . . , het n-de cijfer van het n-de getal. Als u elk cijfer van het diagonale getal verandert, kan het resultaat in geen enkele rij staan; daarom staat het niet in de lijst. Een mooi bewijs! Waarom? Omdat het universeel bewijst dat er verschillende soorten oneindigheid zijn, de oneindigheid van positieve gehele getallen 1, 2, 3, . . . en de oneindigheid van het continuüm 0_______1. Intuïtief toont het aan dat er een discrete oneindigheid bestaat die verschilt van de oneindigheid van het continuüm, zoals een rechte lijn. Het diagonaalargument van Cantor is niet beperkt tot deze stelling; het is ook een krachtig hulpmiddel geworden in de wiskundige logica, over de aard van oneindigheid, en in de informatica, over de aard van complexiteit. Denk aan de duizelingwekkende wiskundige gevolgen van de stelling van Cantor voor de euclidische meetkunde. De filosofische consequenties hebben onherroepelijk de grondslagen van analyse en elk a priori synthetisch oordeel doen wankelen dat Hume's ontkenning weerlegt dat ware kennis van enige metafysica mogelijk is.

Cantor toonde aan dat de aftelbare oneindigheid van positieve gehele getallen kleiner is dan de oneindigheid van het continuüm. De beroemde continuümhypothese is de bewering dat er geen oneindigheid groter is dan de aftelbare oneindigheid en kleiner dan de oneindigheid van het continuüm.  De technische situatie is als volgt:  Gödel bewees dat de continuümhypothese niet kan worden weerlegd uit de axioma's van de verzamelingenleer. Paul Cohen bewees dat het niet te bewijzen is. De continuümhypothese is dus onafhankelijk van de axioma's van de verzamelingenleer; het kan niet worden bewezen of weerlegd. De filosofische consequentie is dat de waarheidswaarde van de continuümhypothese onzeker is, of op zijn best ongedefinieerd. Kant geloofde dat de axioma's van de euclidische meetkunde waar waren. Maar nu weten we dat er ook niet-neuclidische geometrieën zijn. Bovendien heeft John Conway gesuggereerd dat er onstabiele eenvoudige wiskundige beweringen zijn die niet volgen uit de axioma's van de verzamelingenleer. Wat is dan waarheid in de wiskunde? Is er een fundamenteel verschil tussen weten of de axioma's van de euclidische meetkunde waar zijn, en weten of de continuümhypothese waar is? In elk geval zien we dat de waarheid intrinsiek kwetsbaar is en niet kan worden geïdentificeerd met de afwezigheid van tegenspraak.

Axiomatische redenering en constructie hebben elk een ander soort kwetsbaarheid. Constructivisten en intuïtionisten stellen sterke grenzen aan wat kan worden gedaan, terwijl axiomatisch redeneren alleen het bestaan van een object kan aantonen zonder methode om het te construeren. Dat wil zeggen, axiomatisch redeneren kan aantonen dat de hypothese dat het object niet bestaat tot een tegenstrijdigheid leidt. Het diagonale argument van Cantor bewijst dat het continuüm niet lijstbaar is; het zegt echter niets over de structuur van het continuüm. Ook het constructivisme stelt dat constructief redeneren correct is. Maar de praktijk van de overgrote meerderheid van wiskundigen is om niet-constructieve axiomatische redeneringen te gebruiken en vervolgens de mogelijkheden van constructie te onderzoeken die misschien gewoon een kwestie van smaak zijn.

Hume was de sceptische profeet van de smaak die de rol van het subject - het zelf - in de perceptie van schoonheid als het hoogste goed van esthetisch genot aankondigde. Lang voordat Freud het lustprincipe tot de vaste norm van de menselijke bedoeling maakte, had Hume van esthetisch genot de maatstaf van schoonheid gemaakt, geverifieerd op basis van het bewijs van de zintuigen. Maar Kants esthetiek van objecten voorafgaand aan de perceptie van schoonheid – en van waarheid – herzag die relatie tussen fysieke en niet-fysieke realiteit.  De platonist Kant maakte van schoonheid in zichzelf de geopenbaarde uitstraling van wiskundige waarheid en van zuivere metafysische vormen of objecten. Hoe kan waarheid als schoonheid worden geverifieerd als het een openbaring is uit Plato's rijk van zuivere vormen? Op welk bewijs van de zintuigen verifieert u een openbaring? En zijn de zintuigen betrouwbaar verifieerbaar? Is de perceptie van schoonheid slechts een projectie van de wens naar genot om pijn af te wenden of te onderdrukken? Is een echt wiskundig object fysiek of niet? Wat is een echt object? Neemt de wiskundige verificatie van de waarheid deel aan de fysieke werkelijkheid omdat ze ontdekt is, of omdat ze is uitgevonden uit de cultuur van menselijke werken en de fragiele processen van culturele selectie? Redt een bewijs echt het uiterlijk van pure vormen die zijn ontdekt in een mystiek rijk van prachtige objecten?

Analoge vragen in kunst, poëzie, muziek en geschiedenis vormen de basis voor de kwestie van schoonheid vanwege haar diep persoonlijke rol in de vorming van menselijke werken en menselijke waarden. Wiskundigen werken als dichters of schilders: het verschil is dat een kamer van wiskundigen die naar een probleem kijkt hetzelfde antwoord krijgt binnen een gemeenschap die waarde hecht en consensus vereist. De constructie van wiskundige objecten door individuen is kwetsbaar; deze objecten op zichzelf zijn echter robuust vanwege duurzame sociale normen van peer review en consensus. Net als dichters, schilders en componisten van muziek hebben wiskundigen hun eigen stijl en techniek. Maar wiskundige waarheid is niet alleen een verzameling stellingen, net zo min als schilderen slechts een verzameling pigmenten is. Voor wiskundigen, zoals Tarski bewees, zijn stellingen gevestigde waarheden, verkregen door een fragiele constructie van bewijzen die leiden tot consensus over verificatie. Het proces van fragiele constructie tot robuuste verificatie beschrijft niet alleen de sociale normen van de wiskundige gemeenschap; het wijst ook op de geleidelijke onderscheiding van relaties tussen de wiskundige objecten van een bewijs.

Wiskundigen hebben, soms onvrijwillig, de neiging om Wittgensteins concept van aspect – de tijdelijke perceptie van de interne relaties van een object – te accepteren als een essentieel onderdeel van de wiskunde. Dit komt omdat elk bepaald aspect, element of eigenschap van relaties tussen objecten of bewijzen zich onbepaald ontvouwt in het veranderende licht van waarneming, net zoals het relationele aspect van objecten de neiging heeft te veranderen als je naar een schilderij kijkt. Een gedicht, een symfonie, een schilderij of een geschreven verhaal dat in de tijd is vastgelegd, verandert nooit, maar de manier waarop je een tekst leest of naar muziek luistert of naar kunst kijkt, verandert wel met tijdelijke verschuivingen in emotie, smaak of hoeken van licht en ruimte die consensus immaterieel maken. Waarheiddragende geschiedenis wordt gedaan ongeacht de schoonheid of goedheid van gebeurtenissen van wetenschappelijke representatie, ook al waarderen historici een robuuste consensus over fragiele historische waarheden als de objecten en relaties van feitelijke analyse. Poëzie wordt tegenwoordig zelden geschreven om mooi of zelfs noodzakelijk waar te zijn, maar veeleer om een krachtig pre-verbaal bewustzijn te bevredigen van de manier waarop dingen door het gedicht worden veranderd, afgezien van enige formele analyse van aspecten. Keats citeren,

"Schoonheid is waarheid, waarheid schoonheid, dat is alles"

          Gij weet op aarde, en alles wat u hoeft te weten."

​

​